Hortus nocturnus, una serata all’Orto Botanico tra notturne visioni arboree e simmetrie architettoniche

In matematica le singole simmetrie si possono considerare come elementi di un insieme, e con questi elementi si possono inventare delle operazioni. Insomma, come se fossero numeri: 7 più 5 dà 12 (7 toni più 5 semitoni fanno 12 note in tutto. I numeri servono proprio a questo, no?) Nelle nostre stampe gli elementi dell’insieme sono:

Elemento dell’insiemenome
Rotazione in senso antiorario di 90 gradiR1
Rotazione in senso antiorario di 180 gradiR2
Rotazione in senso antiorario di 270 gradiR3
Rotazione nulla = IdentitàI
Riflessione rispetto all’asse verticaleD1
Riflessione rispetto all’asse inclinato di 45 gradiD2
Riflessione rispetto all’asse orizzontaleD3
Riflessione rispetto all’asse inclinato di 135 gradiD4

Il modo per fare delle operazioni con le simmetrie non è immediato, ma una volta spiegato appare naturale, almeno spero. Facciamo un esempio, se ad una rotazione di 90 gradi facciamo seguire una riflessione rispetto all’asse verticale (in simboli: R1*D1), cosa si ottiene? Seguite la figura qui sotto dove ho evidenziato una regione della stampa che prende il nome di cella fondamentale.

In a la stampa ‘nuda’; in b la stampa con evidenziata la cella fondamentale; in c dopo una rotazione di 90 gradi (R1); in d dopo una ulteriore riflessione rispetto all’asse verticale (D1). Ora il risultato delle due trasformazioni equivale ad un elemento che abbiamo già nel nostro insieme: la riflessione rispetto all’asse inclinato di 135 gradi (D4). Scriveremo in sintesi: R1*D1 = D4.

Facciamo un altro esempio. Componiamo D2 con R2 (D2*R2).

In c la stampa dopo una riflessione rispetto all’asse inclinato di 45 gradi (D2); in d dopo una ulteriore rotazione di 180 gradi (R2). Il tutto equivale ad una riflessione rispetto all’asse inclinato di 135 gradi, in formule: D2*R2 = D4.

Mettiamo tutte le simmetrie insieme in una tabella, proprio come nella vecchi cara tavola pitagorica.

Mutatis mutandis, al posto dei numeri ci sono simmetrie (rotazioni e riflessioni) al posto della moltiplicazione c’è la combinazione di simmetrie.

Abbiamo parlato dei primissimi rudimenti della Teoria dei gruppi, una branca della matematica nata nei primi dell’Ottocento per opera di Galois, genio romantico morto a vent’anni in un duello alle pistole.

Ma dopo tutta quest’algebra almeno un esempio arboreo si simmetria quaternaria

Fiore di Diospyrus kaki.

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